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created: 2026-10-08
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- 沪教版教参选择性必修第二册·第8章
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- 数学/教参
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- 上海高考数学
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source: 沪教版教参选择性必修第二册.md（原文件第 1787–2551 行）
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# 第 8 章 成对数据的统计分析
> 拆分自 [[沪教版教参选择性必修第二册]] · **第 8 章 成对数据的统计分析**（原文件第 1787–2551 行）。
> 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。
## 一、本章概述
### 总体要求
在必修课程中,学生已学习过一些基本的统计方法,如数据获取、抽样技术、统计图表、统计估计等, 已初步体会到统计处理的独特方法. 本章是在必修课程学习统计初步知识的基础上, 研究来自同一对象的两组数据间的关系, 进一步学习一些分析数据之间关系的常见统计模型与方法, 并初步应用这些模型与方法解决一些实际问题. 作为常见的统计模型, 它们与生产生活、科学研究等都有着密切的联系, 并有着广泛的应用.
本章通过对典型案例的讨论, 研究成对数据的统计相关性, 了解样本相关系数的统计含义, 了解一元线性回归模型分析的基本思想、方法及初步应用, 学习独立性检验(只要求 2 × 2 列联表)的基本思想、方法及初步应用,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,利用简单的统计软件进行数据分析,认识统计分析在决策中的作用.
通过对这些统计模型的学习, 学生将学习到一些经典的统计方法与统计思想, 体验解决特殊问题的统计过程及统计方法, 进而感受统计思想在解决实际问题过程中的作用.
本章的具体要求如下:
(1)结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
(2)结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
(3)结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义, 了解最小二乘原理, 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法, 会使用相关的统计软件.
(4)针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.
(5)通过实例,理解 $2 \times 2$ 列联表的统计意义.
(6)通过实例,了解 $2 \times 2$ 列联表独立性检验及其应用.
### 课时安排建议
本章的课时安排建议为 8+2 ,共计 10 课时. 建议如下:
| 章节名 | 建议课时 | 具体课时分配建议 |
| 8.1 成对数据的相关分析 | 2 | 成对数据间的关系 1 课时 |
| 相关系数 1 课时 |
| 8.2 一元线性回归分析 | 3 | 一元线性回归分析的基本思想 2 课时 |
| 一元线性回归分析的应用举例 1 课时 |
| 8.3 2×2 列联表 | 3 | 2×2 列联表独立性检验 2 课时 |
| 独立性检验的具体应用 1 课时 |
| 复习与小结 | 2 | |
### 内容编排与特色
本章内容共分为三节,分别是 8.1 成对数据的相关分析, 8.2 一元线性回归分析, ${8.32} \times 2$ 列联表.
“8.1 成对数据的相关分析”首先在必修已经学过的统计例子(绘制散点图)的基础上,再给出绘制年需求量与每千克价格关系的散点图的例子,并通过观察散点图中数据的相关性, 引出怎样更精确地刻画来自同一研究对象的两组数据的相关程度问题, 为引入相关系数作铺垫. 相关系数是两个变量大小变化趋势的一致性度量, 相关系数描述的是两个变量之间线性关系的方向和相关程度, 计算公式不需要记忆. 在本节最后提供“相关系数的几何意义”阅读材料,为学生理解样本相关系数的作用提供参考.
“8.2 一元线性回归分析”利用上一节的例子, 进一步介绍当变量之间有了线性关系之后, 如何确定最佳拟合直线. 教科书用娓娓道来的叙述方式, 努力降低理解难度, 对学生的统计知识要求不多, 教学时可以引导学生开展阅读讨论. 由于回归分析的应用极其广泛,因此在本节最后讨论了可化为线性回归的非线性问题,能帮助学生进一步理解回归分析的意义. 考虑到基础较好的学生能够用配方法导出线性回归方程的回归系数公式, 将利用最小二乘法求回归直线方程的推导过程内容安排在本节最后, 作为“课后阅读”.
“ 8.3 2×2 列联表”研究两个分类变量(二分变量)之间是否独立的统计问题. 我们关心如何选用一个度量,用它的大小来说明独立性假设是否成立,这是假设检验的基本问题. 学生将通过具体例子体会假设检验的思想(实际推断原理)和步骤, 重点关注其方法形成的直观合理性, 理解检验的步骤, 具体计算公式不要求记忆, 对于一般的假设检验问题也不作要求.
内容展开到这里, 学生自然会思考这样的问题: 在讨论成对数据的统计分析时, 到底有哪些类型的随机变量呢? 在概率内容中遇到过离散型随机变量和连续型随机变量, 8.3 节又处理了分类变量, 那么随机变量的类型有哪些? 8.3 节的“课后阅读”介绍了“不同类型的随机变量”,解答了学生的疑问.
我们试图通过案例介绍一些统计方法, 但更看重的是统计思想. “统计学不止是一种方法或技术,还含有世界观的成分——它是看待世界上万事万物的一种方法. 我们常讲某事从统计观点看如何如何, 指的就是这个意思, 但统计思想也有一个发展过程.” ${}^{ \oplus }$ 鉴于高中课程的特点,我们更加强调一些有用的思想方法的直观合理性(实际上也是这种方法的原始产生过程), 而不要求从数学上给出严格论证.
教材在必修课程概率统计内容的基础上, 按照成对数据的相关分析一一元线性回归分析—2×2 列联表独立性检验的顺序展开内容, 培养学生对数据的直观感觉, 认识统计方法的特点(如数据获取的随机性、结果估计的随机性、统计推断可能犯错误等),体会统计数据的随机性和统计方法应用的广泛性,理解其方法中蕴含的归纳思想. 和必修课程一样, 应注意鼓励学生使用计算器、计算机等技术手段来处理数据. 以案例为载体, 即在每一个主题内容下选择至少一个案例给学生呈现至少一次完整的数据处理过程, 为学生亲自进行统计实践提供可参考的范例.
教材在处理案例时, 采取先借助图表直观感知数据的意义以及统计的合理性, 再适度地介绍统计处理方法, 主要是通过案例讲述基本思想.
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① 参见“相关阅读材料”[1].
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### 教学提示
在本章的教学中, 应通过具体案例, 引导学生理解两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析. 在案例教学中要重视过程, 分清层次, 从具体到抽象, 从实际到理论, 引导学生理解利用一元线性回归模型可以研究变量之间的线性关系, 进行预测; 理解利用 $2 \times 2$ 列联表可以检验两个随机变量的独立性.
在教学过程中, 应通过具体案例引导学生参与数据分析的全过程, 并鼓励学生借助信息技术工具学习、探索,用相应的统计软件解决问题.
三节内容在选例时都考虑到在必修课程统计内容基础上作螺旋式上升以及促进学生对统计思维认识的深化, 突出操作步骤. 教学中可以根据具体情况或学生的活动背景选择新的案例实施教学.
一元线性回归分析是通过生活中的实例帮助学生理解回归分析的意义, 以具体的案例引出一元线性回归分析的步骤: 通过绘制散点图, 直观地了解两个变量的关系, 然后运用最小二乘法建立回归模型. 所有的环节都有所了解之后,再呈现一个实际案例,让学生感受一元线性回归分析的一般步骤. $2 \times 2$ 列联表独立性检验从现实情境引入, 通过对实际问题的分析, 说明处理分两类的随机变量之间关系的直观方法和合理性, 体会学习统计知识的必要性.
在教学中应创设情境, 让学生亲身参与统计活动的过程, 避免探究活动陷入公式记忆或者枯燥繁琐的计算,减轻学生录入数据的负担,让学生感受统计方法和统计思想, 理解数据的随机性和结果的概率意义.
### 评价建议
评价中应关注学生解决成对数据统计相关性的简单实际问题的水平. 考查学生能否运用一元线性回归分析的方法解决具体实际问题,能否运用 $2 \times 2$ 列联表解决简单实际问题中两个分类变量的独立性问题.
应关注过程性评价, 包括感受统计思想产生的原始过程, 淡化计算结果, 注重理解统计方法的合理性和统计结果的概率意义. 例如, 对独立性检验, 我们关心统计思维的形成过程, 理解小概率事件通常在一次观察实验中不会发生. 观察学生在学习中的积极变化, 在探究过程中出现的有意义想法, 关注学生数据分析素养的形成过程. 重点提升数据分析、数学运算、逻辑推理等核心素养.
要关注学生能否体会研究随机变量之间关系的统计方法, 是否注意到结论的概率意义, 观察学生在学习过程中统计观点的变化.
#### 二、教材分析与教学建议
##### 8.1 成对数据的相关分析
### 教学重点
在回顾必修课程“统计”一章中散点图等内容的基础上,用联系的观点考察来自同一对象的成对数据之间的关系, 理解成对数据的线性相关系数的意义.
### 内容分析
必修课程中的散点图只是统计数据相关性可视化的一种呈现方式.
第 1 小节,教材先是回顾必修课程“统计”中用散点图刻画两个变量之间的关系, 然后通过考察一个案例,绘制并观察散点图,发现案例中的成对数据具有明显的线性相关性, 即可以用一条直线来拟合这组数据, 从而引出第 2 小节的相关系数的概念.
第 2 小节明确提出, 对于具有某种线性关系的成对数据, 用线性相关系数(简称相关系数, 也称皮尔逊相关系数) 这一统计量来描述两个变量之间的线性相关程度.
相关系数的原始定义建立在协方差等更上位的概念基础上, 本节没有进行这样的定义,也省略了从定义到计算公式的推导过程,而是直接给出了两个变量 $x$ 与 $y$ 的观察值 ${x}_{i}$ 与 ${y}_{i}$ 的相关系数的计算公式
$$
r = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) }{\sqrt{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}}},
$$
其中 $\bar{x}\text{、}\bar{y}$ 分别是两组数据 ${x}_{i}\text{、}{y}_{i}$ 的算术平均数.
相关系数还可以与两组数据的标准差(本教材必修第三册第 166 页)联系起来:
$$
r = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) }{n{s}_{1}{s}_{2}},
$$
其中 ${s}_{1}$ 和 ${s}_{2}$ 分别是两组数据的标准差.
相关系数从几何上看就是这两组数据标准化后向量夹角的余弦值. 虽然本教材没有涉及 $n$ 维向量及其夹角的概念,但学生可以从已学过的平面向量与空间向量的相关知识进行模仿推广. “相关系数的几何意义”放在本节后的“课后阅读”中,供有兴趣的学生阅读参考.
相关系数的几何意义可以直观地解释相关系数 $r$ 的一个重要性质: 因为 $r$ 是一个角的余弦,所以 $\left| r\right| \leq 1$ . 但这仅仅是 “解释”,便于学生理解和接受这个不等式 ${}^{\text{①. }}$ . 但也要提醒学生,这个解释不能算作证明,因为我们还没有建立起 $n$ 维向量的理论框架. 在本教学参考资料章末的“相关阅读材料”关于“线性回归方程检验”的附录中, 把相关系数与决断系数联系起来, $\left| r\right| \leq 1$ 不过是那个联系的简单推论.
本节并不要求学生知道相关系数的定义, 也不要求学生了解相关系数计算公式的推导过程, 但要求学生能够利用公式计算成对数据的相关系数, 对数据量较大的数据能够用计算器或计算机进行计算, 并能体会 “正相关” “负相关” 和数据变化趋势的联系, 能了解教材所列的相关系数的一些基本特点: (1)相关系数关于两个变量是对称的; (2)相关系数与变量的单位无关; (3)相关系数与数据量的大小和数据本身都有关系.
教师也可以将计算两个变量之间的线性相关系数设计成一个探究过程, 上述这些内容可以让学生在探究中逐步理解.
虽然本节提到用直线来拟合两组数据的问题, 但没有说明什么样的拟合是 “更好的”,怎样做出“最佳拟合”. 下一节将展现“一元线性回归分析”的基本思想,给出一个标准用以判断是否为数据的最佳拟合直线, 并给出具体办法做出在这个标准下的最佳拟合直线.
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① 不等式 $\left| r\right| \leq 1$ 的直接证明也不难,但这个证明纯粹是数学归纳法和代数变形的应用,与本节的统计主题相去甚远,所以不宜在本节教学过程中花费这方面的精力. 但为了完整起见,本注解给出一个证明概要,供教师参考.
证明 $\left| r\right| \leq 1$ ,就是要对任何 $n \geq 2$ 证明代数不等式
$$
{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{b}_{i}\right) }^{2} \leq \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}^{2}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}^{2}}\right)
$$
成立,其中 ${a}_{i}\text{、}{b}_{i}$ 都是实数. 证明过程中不等式 ${2xy} \leq {x}^{2} + {y}^{2}\left( {x\text{、}y\text{是实数}}\right)$ 起关键作用. $n = 2$ 的情况很简单,此处略去. 现在假设 $n = k$ 时结论成立. 当 $n = k + 1$ 时,
$$
{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{k + 1}}{a}_{i}{b}_{i}\right) }^{2} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{a}_{i}{b}_{i} + {a}_{k + 1}{b}_{k + 1}\right) }^{2} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{a}_{i}{b}_{i}\right) }^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}2{a}_{i}{b}_{i}{a}_{k + 1}{b}_{k + 1} + {a}_{k + 1}^{2}{b}_{k + 1}^{2}
$$
$$
\leq \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{a}_{i}^{2}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{b}_{i}^{2}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\left( {{a}_{i}^{2}{b}_{k + 1}^{2} + {a}_{k + 1}^{2}{b}_{i}^{2}}\right) + {a}_{k + 1}^{2}{b}_{k + 1}^{2} = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{k + 1}}{a}_{i}^{2}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{k + 1}}{b}_{i}^{2}}\right) .
$$
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本节有 2 道例题.
例 1 作为本节内容的情境引入例题,还将在下一节(即 “ 8.2 一元线性回归分析”) 的内容推进过程中起作用. 例 1 中的情境是考察某种商品消费者年需求量与商品每千克价格之间的关系. 通常来说,同一商品价格提高,其销量就会降低,但也不是绝对如此. 教材中呈现了两组调查数据, 要求根据这两组数据, 先 (按必修教材第三册 13.4 第 3 小节的做法)绘制散点图,再依据散点图进行分析,从而发现两组数据之间具有明显的线性相关关系, 可以用一条直线来拟合. 这就自然引出第 2 小节的相关系数的概念.
例 2 是在学生学习了相关系数及其计算公式以后, 让学生从熟悉的且容易获得的身高与体重数据着手,计算相关系数,并通过这样的实例理解相关系数的意义. 本例的边框通过实例说明了数据量的大小和数据本身都会对相关系数产生影响, 当异常值出现时, 对相关系数的影响可能更大, 因此在做统计分析时需要对数据情况进行具体分析, 有时甚至要剔除异常值, 教师在教学中可适当作讲解.
例 2 的第 2 个边框提示我们, 在用计算器或者计算机进行数值计算时, 最终结果中的有效数字位数可根据需要取舍. 如果没有特别要求,为方便起见,在相关练习计算时, 最终结果可以保留不超过 3 位小数.
### 注意事项
教科书中的案例仅作为示范,具体数据可由教师在教学实施过程中重新采集,也鼓励将问题背景替换成学生身边的例子.
在案例教学处理上, 应设计问题让学生展开讨论, 在讨论中辨析统计数据的随机性和代表性, 以及如何透过数据发现规律.
### 教学建议
作为“成对数据的统计分析”的第一节课,要突出依据“数据”,通过统计作图观察数据的变化趋势, 同时强调两个变量须来自同一研究对象, 如 “学生” 的身高和体重, “商品”的价格和销量等.
相关分析是一种定量统计分析方法. 参与相关分析的两个变量的地位是平等的, 与数据所取单位无关.
例 1 是在绘制散点图的基础上,依据散点图观察两组数据的相关性. 观察可从两方面展开:一看随着商品每千克价格变化,消费者年需求量的总体变化趋势,二看消费者年需求量的随机性特征.
在教学相关系数计算公式时, 可以通过比较两个变量取值与其平均值的波动情况, 帮助学生理解公式的意义. 在不同领域里, 人们对相关程度高低的感受很不相同. 社会学家可能认为 0.50 就是很高的相关性了, 而经济学家可能认为这还不够高. 相关系数的大小跟变量观察值的多少有关, 且受个别异常值的影响较大. 一般来说, 当数据量 $n$ 变大时,受随机性的影响,同样的两个变量的相关系数就会减小. 那么,相关系数多大才算显著？统计学家已经制定了检验相关系数显著性的统计用表,可以很方便地查阅.
另外, 有相关关系并不表示一定有因果关系. 例如, 在上海, 白露过后, 秋装销量见长, 与此同时医院儿科就诊量也在上升, 但我们不能因此认为是秋装销量上升导致儿科就诊量上升,或者儿科就诊量上升导致秋装销量上升. 事实上,它们都跟气温下降相关.
例 2 研究的是学生身高与体重的相关性. 对于处在成长期的青少年, 其身高与体重之间具有非常密切的关系,教材受篇幅限制,只是示意性地给出 10 名高中男生的数据. 在学校,我们可以比较容易地获得更多学生身高、体重等样本数据,因此教学中不必囿于这 10 对数据,教师可以根据情况重新采集,甚至可以让学生来收集同龄人的身高与体重的数据,并按照教材的做法进行分析. 教师须提醒学生把收集到的样本数据储存好, 在下一节学习回归模型时继续使用.
#### 8.2 一元线性回归分析
### 教学重点
本节从一元线性回归分析的基本思想开始介绍, 给出求回归系数的公式, 重点是理解一元线性回归分析的统计方法, 公式的证明不作教学要求.
### 内容分析
上海二期课改教材按照直接观察法和最小二乘法的顺序处理线性回归, 所谓直接观察法就是在散点图中使直尺 (一条线) 尽量靠近或通过大多数点, 然后在这一位置上沿直尺的一边作一条直线. 这一操作已在本教材上一节观察散点图的教学中进行. 因此, 上一节绘制散点图和计算相关系数, 可以看成是成对数据的统计分析的第一个台阶；本节“理性地”引入“最佳拟合直线”,提出了“最佳拟合直线”的标准以及如何求符合标准的最佳拟合直线问题, 即计算 “线性回归方程”, 则可以看成是成对数据的统计分析的第二个台阶.
本节的引入问题是上一节例 1 的延续, 从直观观察两条拟合直线开始学习一元线性回归分析. 本节概念和头绪较多, 所要做的事情是: 对于给定的一组有线性相关关系的成对数据 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{、}\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{、}\cdots \text{、}\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right)$ 和一个线性方程 (或称线性模型)
$$
y = {ax} + b.
$$
我们要找出评判这个模型与数据贴近度的指标, 并找到贴近度最好的模型.
教材按以下步骤循序渐进地展开:
- 引进了刻画单对数据 $\left( {{x}_{i},{y}_{i}}\right)$ 与拟合直线的贴近度的指标一一离差 (也称为残差) ${y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}$ ,其中 ${\widehat{y}}_{i} = a{x}_{i} + b$ 是变量 $y$ 与 ${x}_{i}$ 对应的理想值;
- 用离差的平方和
$$
Q = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}\right) }^{2}
$$
作为刻画数据整体与拟合直线贴近度的指标——拟合误差；
- 把“拟合误差最小”作为“最佳拟合直线”的标准,定义了回归方程(也称回归模型)
$$
y = \widehat{a}x + \widehat{b}
$$
和由回归方程所定义的回归直线的概念;
- 给出回归方程的系数 $\widehat{a}$ 与 $\widehat{b}$ (称为回归系数)的计算公式.
由一组有某种线性关系的成对数据求其回归方程的方法称为一元线性回归分析. 我们的回归分析以拟合误差(即离差的平方和)取最小值作为“最佳拟合直线”的标准, 这种回归分析的方法称为最小二乘法,回归系数 $\widehat{a}$ 与 $\widehat{b}$ 称为模型参数 $a$ 与 $b$ 的最小二乘估计.
回归系数 $\widehat{a}$ 与 $\widehat{b}$ 计算公式的推导比较复杂,放在本节的课后阅读中介绍. 必须注意的是, 虽然上文中回归方程的定义过程和“课后阅读”中回归系数计算公式的推导过程都从一个线性模型 $y = {ax} + b$ 出发,但从计算公式可以看出,回归系数 $\widehat{a}$ 与 $\widehat{b}$ 的值只与给定的数据有关, 而与回归分析过程中选择的初始线性模型无关.
上一节介绍相关系数时我们特地指出, 相关系数关于两个变量是对称的. 而从本节可以明显地看出, 回归方程的定义关于两个变量是不对称的, 因此必须对它们予以区分.
自变量 $x$ 称为解释变量(亦称“说明变量”或“可控制变量”),它按照一定的规律对模型中的因变量产生影响,并对因变量的变化原因作出解释或说明; 因变量 $y$ 称为反应变量(亦称“被预报变量”或“被解释变量”), 它对解释变量的变化作出反应. 在研究两个变量之间的线性回归关系时, 作为解释变量的自变量通常是可控变量, 它可能是随机变量 (如树的胸径、某高一年级学生的期末数学考试成绩等), 也可能不是随机变量 (如月份、工龄等); 而反应变量一定是随机变量.
本节编号的例题只有一个, 即例 1 , 它沿用上一节例 2 的情境与数据, 要求作线性回归分析. 本题的直接解法是套用回归系数计算公式. 教材建议直接将数据输入电子表格办公软件的工作簿,自动生成散点图和回归直线. 例题中还对身高 ${178}\mathrm{\;{cm}}$ 的男生体重作出预测,体现了术语“反应变量”或“被预测变量”的意义.
例 1 后还总结了建立一元线性回归模型的一般步骤, 以及相关分析和回归分析之间的联系与区别, 必须给予关注.
教学中可设计为教师与学生一起探索并运用电子表格办公软件操作的教学活动, 并总结步骤. 在完成例 1 的基础上, 可根据情况增加一个问题作为巩固练习, 让学生按照例 1 求解过程中总结出来的步骤完成.
本节最后部分给出了 1999 年至 2018 年我国国内游客数量和年份之间的分布关系, 展示了如何用线性回归分析的方法处理游客数量随着年份而增长的呈指数分布性状的数据分布, 即通过对因变量取对数, 将原数据化成了有线性关系的一组数据, 从而可作线性回归分析(这个方法通常称为对数回归分析). 本案例旨在让学生了解回归分析在大数据时代具有广泛的应用,增长见识,但对可化为线性回归的非线性回归问题不作教学要求.
还要注意到, 由于 2020 年以后新冠疫情的国际大流行, 上述问题中原有的变化规律被打破,学生可通过习题 8.2 B 组第 3 题的讨论,感受利用回归分析作预测时必须关注反应变量与解释变量之间的依赖关系是否受到大的干扰.
### 注意事项
由于在统计用语中, 同一个概念通常有多种表达, 因此本教材遵循两个原则处理, 一是使用《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)》中的名词, 二是沿用上海二期课改教材中的用语. 教师应根据教材主要使用的术语进行教学,对其他术语也可作介绍, 以方便学生进行课外拓展阅读.
进行线性回归分析时, 我们都会强调给定的是一组具有某种线性关系的成对数据, 这是因为只有对具有线性相关关系的两个变量进行线性回归分析才有意义. 但是回归系数计算公式并没有规定数据的线性相关性要达到何种水平才可以使用. 换言之, 只要给定一组成对数据, 一定可以根据公式求出它们的回归系数. 但是, 当数据之间的线性相关性较弱的时候, 得到的回归方程将无法反映这组数据的特点与性质. 因此, 要使线性回归分析得出的结果真正有用, 要从两个方面进行把关: 一是尽可能预判数据是否具有比较强的线性相关关系(但这并不容易,特别是当数据量比较大时, 需要适当的相关专业背景知识和历史经验作支撑); 二是对所得到的回归方程是否可靠作回归显著性检验,判断回归直线与数据是否有较好的拟合. 这一工作在教材中未提及,教学上也不作要求,但本教学参考资料章末给出了用“决断系数”进行检验的介绍, 教师可以指导有兴趣的学生进行研究. 对数据量较小的案例, 教师可以指导学生编制数据的离差表 (即把离差 ${y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}$ 列表),让学生直观判断回归模型的拟合效果.
现实中的统计问题通常包含大量的数据, 一般都通过相应的统计软件进行计算. 但由于涉及版权、广告效应等问题, 教材中没有给出具体的统计应用软件. 教学时可以根据学校信息媒体环境和师生的实际情况适当介绍相关统计软件的使用方法.
### 教学建议
教学中应安排操作活动让学生进行线性回归统计分析, 注意不要将学生的操作活动变成数据输入或者代入公式的纯粹数学运算. 要让学生经历统计分析活动的全过程, 在此之前, 教师可以根据教材中的案例, 示范操作步骤.
鼓励学生从建立回归模型的整个过程中总结出建立回归模型的一般步骤, 而不是机械记忆教材中所列步骤.
由于计算相关系数、建立线性回归方程的过程中数据输入和计算的工作量都比较大, 建议学生使用计算器或者计算机软件完成相关的工作, 并对多次使用的数据养成及时存储的习惯.
由于教材中给出的例子仅具有示意性, 在具体教学实施过程中, 鼓励教师适当更换为更贴近学生实际的数据.
教学中应结合介绍一元线性回归分析基本思想的引例, 将最小二乘法阐释明白. 如果学生整体基础较好, 可以将课后 “一元线性回归系数公式的推导”一并进行讲解, 让学生对 “最佳拟合” 有所理解和体会. 如果要降低学生理解的难度, 教学起点也可以适当降低, 不必要求学生掌握用最小二乘法得出回归系数的推导过程, 只需理解“最佳拟合” (最小二乘法) 的统计意义即可.
例 1 是上一节例 2 的延续, 数据不必重新录入, 可直接沿用. 教学中要讲清楚用电子表格办公软件的详细操作步骤, 教师既要做好演示, 也要指导学生亲自完成完整的操作过程. 在完成例 1 的教学后, 师生共同归纳建立一元线性回归模型的一般步骤.
完成上述教学任务以后, 教材给出了 1999 年至 2018 年我国国内游客数量呈指数分布性状增长的实例. 建议讲清楚指数模型转化为线性模型的过程, 让学生理解转化的意义. 对有进一步学习兴趣的学生, 可以让他们模仿这一例子去完成本章复习题的 “拓展与思考”第 3 题,即对某地区 80 种品牌饼干的价格与销售量关系进行回归分析.
### ${8.3}\;2 \times 2$ 列联表
### 教学重点
了解分类变量的概念,能对两个分两类的分类变量编制 $2 \times 2$ 列联表加以说明, 重点理解 $2 \times 2$ 列联表的构成和独立性检验的基本思想. 会应用 $2 \times 2$ 列联表对分类变量进行独立性检验(✗作检验)知么胜值 处4
### 内容分析
前两节所讨论的相关系数和线性回归分析所涉及的随机变量是顺序变量或数值变量(参看本节末的“课后阅读”). 本节所要讨论的 2 × 2 列联表与独立性检验所涉及的是另外一类随机变量一一分类变量, 这类变量实际上给出总体中的个体一个分类, 它把每一个个体对应到其所在的类别. 例如, 可以按出生的年份给全校学生分类, 把每一名学生对应到其出生年份, 这就是一个分类变量; 对全校学生按照性别进行分类, 就给出了另一个分类变量.
本节只限于讨论分两类的分类变量(简称二分类变量),这样的分类变量把总体中的个体分为两类, 如上述按性别的分类变量. 教材本节的引入案例就是 50 岁以上公民这个总体中的两个二分类变量: 其一, 一个人吸烟与否; 其二, 一个人患慢性气管炎与否. 这两个变量是否相关, 或者反过来说, 是否独立, 是社会和公共卫生领域比较关注的问题. 要回答这个问题,就要对这两个变量进行独立性检验,其方法是 $2 \times 2$ 列联表独立性检验.
进行 $2 \times 2$ 列联表独立性检验,首先要抽样(教材的案例中样本量是 339),统计两个变量在样本的取值,制作 $2 \times 2$ 列联表,即一个 $2 \times 2$ 表格,它的行标题指示一个变量的两种不同的分类, 它的列标题指示另一个变量的两种不同的分类, 在行列交叉的单元格上填入符合行标题与列标题所指示的样本数. 教学中应结合案例, 与学生一起制作教材中的表 8-7, 并启发学生举一反三, 对新的检验问题制作相应的表格.
制作出 2 × 2 列联表后,可以通过计算其中一个分类变量的不同类别在另一个分类变量中的百分比, 让学生直观地判断两个变量的相关性. 也可以借助统计图 (二维条形图或者三维直方图), 让学生直观观察吸烟影响患慢性气管炎的百分比的指标差异的显著性, 这样的过程有助于学生进一步理解统计图表的可视化特征. 但是, 需要向学生强调, 若要把这种直观观察感知的指标差异或变量的相关性理性地加以描述, 则需要构造适当的统计量, 并用程序化的方法进行处理.
构造这个统计量的思想是: 先设定两个变量之间独立性的一个假设, 然后比较两个变量的实际观察值与假设下的预期值的偏差, 再定义观察值和预期值之间的总体偏差.
在做两个分类变量的独立性检验时, 一般假设它们是相互独立的, 即其中一个变量的分类在另一个变量的每个分类中的比例是相同的. 这个假设称为原假设或零假设,记为 ${H}_{0}$ . 对原假设,也可以作出一个 $2 \times 2$ 表格,其中每个单元格就是变量在原假设下的预期值. 统计学家定义观察值和预期值之间的总体偏差为
$$
{\chi }^{2} = \sum \frac{{\left( \text{ 观察值一预期值 }\right) }^{2}}{\text{ 预期值 }},
$$
①
其中求和符号表示对所有单元格的求和. 直观上很容易理解, ${\chi }^{2}$ 的值 (即观察值与预期值的总体偏差)越大, 原假设成立的可能性就越小. 严格的做法是: 预设一个接受原假设的标准,即选择一个概率分位数,通过 ${\chi }^{2}$ 分布概率表 (准确的名称应是 ${\chi }^{2}$ 分布的上侧分位数表),找到 ${\chi }^{2}$ 值对应于此分位数的临界值. 若 ${\chi }^{2}$ 值大于等于这个临界值, 则拒绝原假设; 否则, 接受原假设.
${\chi }^{2}$ 分布概率表是根据 ${\chi }^{2}$ 分布图计算得到的数表 (图/表 8-R1),它的行表头 (第一行) 所示的是 ${\chi }^{2}$ 分布概率表的分位数 $\alpha$ ,它的列表头 (第一列) 是 ${\chi }^{2}$ 分布的自由度 ${}^{ \oplus } \; \left( {2 \times 2\text{列联表的自由度是 1}}\right)$ ,表体则列示在给定的自由度下,对应于分位数 $\alpha$ 的一个数值 $x$ ,它就是在给定自由度下满足 $P\left( {{\chi }^{2} \geq x}\right) \approx \alpha$ 的值 $x$ .
---
① 为了说明自由度,要把列联表的做法推广到一个 $n$ 分类变量和一个 $m$ 分类变量所组成的 $n \times m$ 列联表. 一个单独的 $n$ 分类变量的自由度是 $n - 1$ . 在一个 $n \times m$ 列联表中,在一个 $n$ 分类变量的每个自由度下还有另一个变量 $\left( {m\text{分类变量}}\right)$ 的 $m - 1$ 个自由度,所以 $n \times m$ 列联表的 ${\chi }^{2}$ 分布的自由度是 $\left( {n - 1}\right) \left( {m - 1}\right)$ . 特别地, $2 \times 2$ 列联表的自由度是 $\left( {2 - 1}\right) \times \left( {2 - 1}\right) = 1$ . 教师也可以直接告诉学生 $2 \times 2$ 列联表的自由度是 1,而不涉及 $n \times m$ 列联表和上述分析.
---
| 0.995 | 0.99 | 0.975 | 0.95 | 0.90 | 0.75 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 |
| 1 | - | - | 0.001 | 0.004 | 0.016 | 0.102 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
| 2 | 0.010 | 0.020 | 0.051 | 0.103 | 0.211 | 0.575 | 2.773 | 4.605 | 5.991 | 7.378 | 9.210 | 10.597 |
| 3 | 0.072 | 0.115 | 0.216 | 0.352 | 0.584 | 1.213 | 4.108 | 6.251 | 7.815 | 9.348 | 11.345 | 12.838 |
(数据来源:“相关阅读材料”[4],第 1066-1068 页)
图/表 8-R1 ${\chi }^{2}$ 分布图与 ${\chi }^{2}$ 分布概率表 (仅列自由度 1-3)
图/表 8-R1 中 ${\chi }^{2}$ 分布概率表只列出自由度 1-3 的数据,更大自由度的数据可参阅其他统计学方面的教材或著作.
${\chi }^{2}$ 分布是统计学中的一个重要分布,由于它的定义、理论基础、 ${\chi }^{2}$ 分布图的得出以及 ${\chi }^{2}$ 分布概率表的编制超出了本教材的范围,因此本教学参考资料也不涉及. 但必须提醒的是,这里针对一个 $2 \times 2$ 列联表所定义的 ${\chi }^{2}$ 只是理论定义的 ${\chi }^{2}$ 的一个近似, 只有当样本量足够大时,列联表所定义的 ${\chi }^{2}$ 才能比较好地逼近理论定义的 ${\chi }^{2}$ . 因此要注意, 在样本量太小时, 不宜使用①式作独立性检验.
现在回到吸烟与慢性气管炎关系的案例. 这个案例的原假设是:
${H}_{0}$ : 患慢性气管炎与吸烟没有关系,即它们相互独立.
这个假设的意思是, 在吸烟者和不吸烟者中, 患慢性气管炎者的比例是一样的. 由表 8-7 可以得知, 在样本中患慢性气管炎者的比例是 339 , 写成百分比约是 16.52%. 据此,算出在原假设下预期值的 2×2 列联表,并把它与表 8-7 合并,从而制成表 8-8,然后如教材所示,计算得到
$$
{\chi }^{2} \approx {7.468}
$$
这时我们要预设一个显著性水平 $\alpha$ ,再进行查表并作出统计决断. 显著性水平 $\alpha$ 是作统计决断时所约定的概率临界值(或者说分位数). 若独立性检验中原假设成立的概率不大于 $\alpha$ ,则拒绝 (或否定)原假设; 若原假设成立的概率大于 $\alpha$ ,则不能拒绝 (或否定)原假设,也就是要接受原假设. 我们所作的显著性水平的约定是 $\alpha = {0.05}$ ,查阅 ${\chi }^{2}$ 分布概率表或根据教材所列的 ${\chi }^{2}$ 值超过某些界限的概率,得到 $x = {3.841}$ ,即 $P\left( {\chi }^{2}\right. \; \geq {3.841}) \approx {0.05}$ ,而计算得到的 ${\chi }^{2} \approx {7.468}$ 在 ${\chi }^{2} \geq {3.841}$ 的范围内,所以我们可以推断原假设“ ${H}_{0}$ : 患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于 0.05,从而作出“拒绝 (或否定) ${H}_{0}$ ”的统计决断.
就这个案例来说,还可以把显著性水平取为 $\alpha = {0.025}$ 或者 $\alpha = {0.01}$ ,从而 $x =$ 5.024 或者 $x = {6.635}$ ,计算得到的 ${\chi }^{2} \approx {7.468}$ 都在 ${\chi }^{2} \geq x$ 的范围内,由此可以推断原假设 “ ${H}_{0}$ : 患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于 0.025 或 0.01,不会改变最后的统计决断. 但 $\alpha = {0.05}$ 是本教材的约定,因此在作统计决断前关注的是 $x =$ 3.841.
这个案例通过是否吸烟与是否患慢性气管炎的实际获取的调查数据,较为详细地展现了 $2 \times 2$ 列联表独立性检验的整个过程. 这一例子包含的内容很丰富,特别是在原假设成立的假定下所得的预期值与观察值的总体差异的比较, 教材用一张表格 (表 8-8)来呈现, 使得差异的大小比较直观. 为了描述这种差异性, 统计学家引进了统计量
$$
{\chi }^{2} = \sum \frac{{\left( \text{ 观察值一预期值 }\right) }^{2}}{\text{ 预期值 }},
$$
对单元格求和. 教师可以对统计量的合理性进行适当补充解释,让学生体会引入该统计量的合理性.
在实际计算中并不需要像表 8-8 那样, 先把观察值和预期值并列在一张表中, 再来计算总体偏差 ${\chi }^{2}$ ,这是因为预期值也是从观察值得到的,它不过是把每个变量的每种分类样本数按比例分配到各个格子中. 对于教材中表 8-9 的 $2 \times 2$ 列联表,第一列的预期值就是把列总和 $a + c$ 按行的比 $\left( {a + b}\right) : \left( {c + d}\right)$ 重新分配,得到这一列两个单元格的数据 $\frac{\left( {a + c}\right) \left( {a + b}\right) }{n}$ 与 $\frac{\left( {a + c}\right) \left( {c + d}\right) }{n}$ ,这里 $n = a + b + c + d$ ,即总样本量. 把行总和按列的比重新分配也得到同样的结果. 教材给出了 $2 \times 2$ 列联表下 ${\chi }^{2}$ 的计算公式:
$$
{\chi }^{2} = \frac{n{\left( ad - bc\right) }^{2}}{\left( {a + b}\right) \left( {c + d}\right) \left( {a + c}\right) \left( {b + d}\right) },
$$
并把公式的证明作为一道习题 (习题 8.3 B 组第 2 题). 为方便教师使用, 本教学参考资料本章“参考答案或提示”部分给出了公式的完整证明.
教材总结了 $2 \times 2$ 列联表独立性检验的步骤. 所列步骤中第一次将 “显著性水平 $\alpha$ ” 正式提出,并作了 $\alpha = {0.05}$ 的规定(上文只在边框中做这两件事),还第一次用 “统计决断”来指代根据 ${\chi }^{2}$ 的值给出拒绝 ${H}_{0}$ 或接受 ${H}_{0}$ 的判断. 这两个术语要让学生理解并能正确使用.
在介绍了独立性检验的方法之后,在“独立性检验的具体应用”中还给出了三道例题, 通过三种类型的案例展示了独立性检验的步骤. 为了避免学生产生作独立性检验的两类变量一定相关的误解, 除例 1 外, 后面所选两例都是接受原假设的情形, 同时这两个案例反映了独立性检验在实际研究中的应用方式, 为学生合理应用独立性检验提供了范例.
例 1 实际上是为了巩固 ${\chi }^{2}$ 检验的步骤,建议让学生自主解决.
教材中首先指出把“性别”“是否色盲”作为两个分类变量,教学中应让学生来回答. ${\chi }^{2}$ 计算公式不必要求学生记忆,能结合表 8-10 说清公式中字母的含义即可.
例 2 与例 3 是为了展现 $2 \times 2$ 列联表独立性检验的进一步应用,让学生体会在不能拒绝原假设 ${H}_{0}$ 的情形下,统计结论的表述方式.
可结合例题的讲解告诉学生: “拒绝 ${H}_{0}$ ” 也是作独立性检验的可选假设之一,这个假设称为“备择假设”,通常记为 ${H}_{1}$ . 对备择假设不做更深入的分析和更多的要求.
### 注意事项
在 $2 \times 2$ 列联表独立性检验的教学过程中,要着重引导学生感受选取能够说明独立性是否成立的统计量的重要性, 让学生体会统计方法的合理性. 量化分析过程所依赖的统计学理论超出了本教材的要求, 可以只告诉学生结果, 使之能够操作, 而不要影响学生对问题实质的理解.
$2 \times 2$ 列联表独立性检验中的统计决断是根据数据对可能的结果给出一个有较大把握的判断, 虽然它在大概率上是对的, 但在实际问题中仍然无法避免出现错误的可能. 下面给出关于两类错误的描述, 供教师参考.
第一类错误: 当原假设 ${H}_{0}$ 实际为真时,而按照给定的检验法则,拒绝了 ${H}_{0}$ ,这种错误又称为拒真错误 (或弃真错误),其发生的概率就是显著性水平 $\alpha$ 的大小,这个概率我们称为犯第一类错误的概率, 又称为拒真概率.
第二类错误: 当备择假设 ${H}_{1}$ 实际为真时,而按照给定的检验法则,接受了 ${H}_{0}$ , 这种错误又称为受伪错误(或纳伪错误), 其发生的概率称为犯第二类错误的概率, 又称受伪概率,通常记为 $\beta$ . 在样本容量固定时,要使 $\alpha$ 与 $\beta$ 都很小是不可能的,无限增大样本容量又是不实际的. 基于这种情况,奈曼(Neyman)与皮尔逊(Pearson)提出一个原则,即在控制犯第一类错误的概率 $\alpha$ 的条件下,使犯第二类错误的概率 $\beta$ 尽量小,因为人们通常把错误地拒绝 ${H}_{0}$ 比错误地接受 ${H}_{0}$ 看得更重要些. 对基于奈曼一皮尔逊原则去寻找最优检验的问题, 感兴趣的老师可参阅本教学参考资料章末参考文献[2].
### 教学建议
本节可以安排 3 课时教学. 引例通过研究吸烟与患慢性气管炎的关系的一组调查数据引入, 首先从数据上直观判断吸烟与患慢性气管炎有关, 再应用假设检验的方法对问题进行分析,得到在原假设“慢性气管炎患病与吸烟没有关系”成立的条件下,四种事件发生的预期值(也称理论频数),通过比较观察值(也称实际频数)与预期值之间的差异,引入 ${\chi }^{2}$ 统计量,并应用 ${\chi }^{2}$ 统计量完成假设检验. 独立性检验是假设检验的一种具体类型, 由于学生之前没有接触过假设检验问题, 这里可以安排 2 课时教学.
正确构造 $2 \times 2$ 列联表是独立性检验的起步,也是重要步骤,通过表格可以帮助学生直观判断关心的分类变量是否影响另一个分类变量. 教学中应给予学生亲自完成 $2 \times 2$ 列联表的操作机会,让学生体会统计量公式构成的合理性.
在 “2×2 列联表的具体应用” 教学中, 应培养学生对数据的直观感受, 认识统计方法的特点, 体会统计方法应用的广泛性, 理解其方法中蕴含的统计思想. 教材中的引入案例要充分展开,让学生充分体会假设检验的思想和步骤. 一定要避免让学生单纯记忆和机械套用公式进行计算. 教学中, 应鼓励学生使用计算器、计算机等信息技术工具来处理数据,有条件的学校还可以运用一些常见的统计软件解决实际问题; 要给学生提供一定的实践活动机会,可结合实践探究活动选择一个案例,鼓励学生亲自操作, 教材中给出的案例也可以根据需要进行替换, 帮助学生感受独立性检验应用的广泛性.
对于选择性必修教材中的统计内容, 重点是要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用, 感受统计在科学实验和现实生活中的重要性, 对于其理论基础不作要求.
教学的重点应放在如何对数据进行处理上, 指导学生从直观上理解如何选用一个合适的统计量, 怎样依据统计量的大小说明独立性是否成立, 分析其方法的合理性, 对于最后选取的 ${\chi }^{2}$ 统计量及其大小的界定,教师只需告知结果,学生能够操作即可. 代入公式的过程中计算量不大, 必要时可使用计算器处理.
#### 三、参考答案或提示
##### 8.1 成对数据的相关分析
练习 8.1(1)
1.(1)因为不是来自同一对象的两组数据,所以不能看作成对数据,不能进行相关分析.
(2)一个人体内的脂肪含量与这个人的体重可以看作成对数据,能够进行相关分析.
(3)一个班级学生的物理成绩和数学成绩可以看作成对数据,能够进行相关分析.
2.(1)可以. (2)略.
3. 发车时刻与上车乘客人数之间的关系是:开始记录的时候,上车乘客人数总体上是逐步增加的, 最多时达到 18 人,发生在第 4 次记录,随后上车乘客人数开始逐步下降. 从散点图来看, 近似呈抛物线形相关趋势.
练习 8.1(2)
1. 提示: 对自己收集到的部分同学的某两科成绩计算相关系数.
2.(1)热量/kJ
相关系数为 0.988 .
习题 8.1
A 组
1. -0.863 .
2. 0.561 .
3. 0.945.
4. 0.989.
B 组
1. C.
2. -0.696 .
3. 0.888.
##### 8.2 一元线性回归分析
练习 8.2(1)
1. 略.
2. D.
3. D.
练习 8.2(2)
1. 68. 提示: 先根据 $b = \bar{y} - a\bar{x}$ 求出 $b = {60}$ ,再求解.
2. $y = - {0.001x} + {1.098}$ .
3. $y = {0.183x} - {9.935}$ .
习题 8.2
A 组
1. $y = {161.642x} - {323.388.121}$ .
2. $y = {1.345x} - {53.118}$ .
3.(1)摆尾频率/Hz
(2) $y = {1.439x} + {0.190}$ .
4. $y = {0.604x} + {4.118}$ .
5. (1) -0.909 .
(2) $y = - {1.818x} + {77.364}$ .
(3) 64.64 元.
B 组
1. (1) $y = {{60} + {5x}}$ .
(2)110 千元.
2. (1)男性: $y = {{0.186x} + {11.571}}$ ；女性: $y = {{0.403x} + {5.240}}$ .
(2)事实上, 从散点图来看, 男女合并后的数据中脂肪含量与体重之间已经不具有线性关系. 因此, 即使作线性回归分析得到回归方程, 其斜率也必然和 (1) 中所计算的斜率有较大差异.
(3)①男性:0.935；②女性:0.813；③男女合计:0.078. 这些数据与(2)中所反映的信息一致.
按照原始数据, $Y$ 表示年份,所得结果为 $\ln N = {0.1147Y} - {218.3205}$ ,所以 $N = \; {\mathrm{e}}^{-{218.3205}{\mathrm{e}}^{0.1147Y}}$ . 以此模型预测 2021 年我国国内游客数量为: $N \approx {720900}$ (万人次). 提示: 由于年份数据较大, 因此建议保留 4 位小数, 以提高指数模型预测的准确性.
(说明: 若以 1999 年为起点, $Y$ 表示随后的年数,即 1999 年对应 $Y = 0,{2000}$ 年对应 $Y = 1,{2001}$ 年对应 $Y = 2$ ,以此类推,2018 年对应 $Y = {19}$ ,则可使对应常数项的数值较小,而不改变线性回归方程的本质. 此时, $\ln N = {0.115Y} + {11.053}$ ,所以 $N = \; \left. {{\mathrm{e}}^{11.053}{\mathrm{e}}^{0.115Y} = {63133.07}{\mathrm{e}}^{0.115Y}.}\right)$
(2)查阅国家统计局网站文化和旅游部提供的数据,2021 年国内游客恢复至 2019 年的 54%,实际游客人次为 325000 万人次(2019 年实际游客为 601000 万人次). 2020 年初开始, 受新冠疫情国际大流行的影响, 外部影响因素发生重大变化, 原来国内游客数量增长的变化规律被打破,这提醒我们,在作长期预测时,必须考虑解释变量和反应变量之间的依赖关系是否发生改变.
##### 8.3 2×2 列联表
### 练习 8.3(1)
${\chi }^{2} \approx {178.129}$ ,因为 ${178.129} > {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上拒绝原假设 ${H}_{0}$ : 上课注意力集中与否与数学成绩之间没有关系. 因此,上课注意力集中与否与数学成绩之间有关系. (也可以说: 注意力是否集中对成绩有显著影响, 上课注意力集中的学生成绩显著好于上课注意力不集中的学生.)
### 练习 8.3(2)
1. ${\chi }^{2} \approx {14.501}$ ,因为 ${14.501} > {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上拒绝原假设, 髋关节保护器可以降低老年人髋部骨折的可能性.
2. ${\chi }^{2} \approx {0.788}$ ,因为 ${0.788} < {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上接受原假设, $A$ 、 $B$ 两所中学的学生对报考某类大学的态度没有显著差异.
### 习题 8.3
A 组
1. ${\chi }^{2} \approx {2.724}$ ,因为 ${2.724} < {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上接受原假设,该校高中生的数学成绩与语文成绩之间没有显著关系.
2. ${\chi }^{2} \approx {11.098}$ ,因为 ${11.098} > {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上拒绝原假设, 甲、乙两种中草药的疗效有显著差异.
### B 组
1. ${\chi }^{2} \approx {4.818}$ ,因为 ${4.818} > {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上拒绝原假设,改进操作方法能显著降低不合格率.
2. 证明: 设表 8-9 各单元格在原假设下的预期值分别为 ${a}^{\prime }\text{、}{b}^{\prime }\text{、}{c}^{\prime }$ 与 ${d}^{\prime }$ ,则
$$
\begin{aligned} & {a}^{\prime } = \frac{\left( {a + b}\right) \left( {a + c}\right) }{n},{b}^{\prime } = \frac{\left( {a + b}\right) \left( {b + d}\right) }{n}, \\ & {c}^{\prime } = \frac{\left( {c + d}\right) \left( {a + c}\right) }{n},{d}^{\prime } = \frac{\left( {c + d}\right) \left( {b + d}\right) }{n}. \end{aligned}
$$
于是, 计算可得
$$
\begin{aligned} & \frac{{\left( a - {a}^{\prime }\right) }^{2}}{{a}^{\prime }} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{\left( ad - bc\right) }^{2}}{\left( {a + b}\right) \left( {a + c}\right) },\frac{{\left( b - {b}^{\prime }\right) }^{2}}{{b}^{\prime }} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{\left( ad - bc\right) }^{2}}{\left( {a + b}\right) \left( {b + d}\right) }, \\ & \frac{{\left( c - {c}^{\prime }\right) }^{2}}{{c}^{\prime }} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{\left( ad - bc\right) }^{2}}{\left( {c + d}\right) \left( {a + c}\right) },\frac{{\left( d - {d}^{\prime }\right) }^{2}}{{d}^{\prime }} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{\left( ad - bc\right) }^{2}}{\left( {c + d}\right) \left( {b + d}\right) }. \end{aligned}
$$
所以
$$
{\chi }^{2} = \frac{{\left( ad - bc\right) }^{2}}{n} \cdot \frac{\left( {c + d}\right) \left( {b + d}\right) + \left( {c + d}\right) \left( {a + c}\right) + \left( {a + b}\right) \left( {b + d}\right) + \left( {a + b}\right) \left( {a + c}\right) }{\left( {a + b}\right) \left( {c + d}\right) \left( {a + c}\right) \left( {b + d}\right) }
$$
$= \frac{{\left( ad - bc\right) }^{2}}{n} \cdot \frac{n\left( {b + d}\right) + n\left( {a + c}\right) }{\left( {a + b}\right) \left( {c + d}\right) \left( {a + c}\right) \left( {b + d}\right) } = \frac{n{\left( ad - bc\right) }^{2}}{\left( {a + b}\right) \left( {c + d}\right) \left( {a + c}\right) \left( {b + d}\right) }.$
复习题
A 组
1. 0.992 .
2. -44.866.
3. 广告费每增加 1 万元,销售额大约增加 9.4 万元.
(2)相关系数 $r \approx {0.965}$ ,说明学生高一与高二结束时的数学考试成绩之间具有很高的相关性.
5. ${\chi }^{2} \approx {8.416}$ ,因为 ${8.416} > {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上拒绝原假设,能够以 95% 的把握认为性别与读营养说明之间有关系.
B 组
1. 68.13%.
2. (1)利润额/万元
(2) $y = {0.043x} + {1.034}$ .
3. (1)该商品年销售额与地区居民人数的相关系数为 0.944 ,与平均每个家庭每年总收入的相关系数为 -0.090 .
(2)该商品年销售额 $y$ (单位:万元/年, $y$ 为反应变量 $)$ 与地区居民人数 $x$ (单位: 万人, $x$ 为解释变量)的相关系数较大,回归方程为 $y = {5.490x} + {41.967}$ .
4. (1)
| 无枯萎病 | 有枯萎病 | 总计 |
| 感染红叶螨 | 15 | 11 | 26 |
| 未感染红叶螨 | 17 | 14 | 31 |
| 总计 | 32 | 25 | 57 |
(2) ${\chi }^{2} \approx {0.047}$ ,因为 ${0.047} < {3.841}$ ,所以在 0.05 的显著性水平上接受原假设, 即这些数据不能说明感染红叶螨可引起植株对枯萎病的抗性.
### 拓展与思考
1. (1)家庭人均消费量/元
(2) 0.844 .
(3)通过观察散点图,加之 $y$ 与 $x$ 之间具有较高的相关性,说明 $y$ 与 $x$ 之间具有线性相关关系,可作回归分析,回归方程为 $y = {0.004x} - {5.636}$ .
2.(1)将 $t = {19}$ 代入模型①,得 $y = {226.1}$ ,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 226.1 亿元; 将 $t = 9$ 代入模型②,得 $y = {256.5}$ ,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 256.5 亿元.
(2)用模型②得到的预测值更可靠. 理由: $a$ .线性回归方程只能用来预测变化趋势没有发生明显改变且变量范围没有发生大的变化的情况, 从折线图可以看出, 从 2009 年以前到 2010 年以后, 环境基础设施投资额的增长趋势发生了较大变化, 这一点从模型①与模型②的直线斜率也可以看出; b. 2019 年临近 2010-2018 年而远离 2000-2009 年, 短期内变化趋势改变较小而长期来说会发生较大变化, 另外, 用模型①预测 2016 年的值,计算结果为 199.1 而实际为 220,二者相差较大. (从 $a$ 、 $b$ 任一角度正确作答即可)
3. 价格与销售量的散点图为:
计算得到: 价格与销售量的相关系数为 -0.361 , 回归直线方程 y = -925.266x+ 31291.280.
由于相关系数比较小, 于是再观察散点图, 发现价格与销量之间不是线性关系, 而是呈现出明显的指数下降趋势. 将饼干的销售量取自然对数再进行线性回归分析, 得到 $y = {31599.62}{\mathrm{e}}^{-{0.069x}}$ .
#### 四、相关阅读材料
### 参考文献
[1] 陈希孺. 数理统计学简史[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2021.
[2] 茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 概率论与数理统计教程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社,2019.
[3] 茆诗松, 丁元. 回归分析及其试验设计[M]. 上海: 华东师范大学出版社, 1981.
[4] 茆诗松. 统计手册[M]. 北京:科学出版社,2003.
[5] 陈家鼎, 刘婉如, 汪仁官. 概率统计讲义 (第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社,2004.
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[7] 埃维森, 格根. 统计学基本概念和方法[M]. 吴喜之, 等译. 北京: 高等教育出版社,2017.
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[10] 假谷太一. 预测知识[M]. 黄宗成, 译. 重庆: 科学技术文献出版社重庆分社, 1985.
[11] 周兆麟, 李毓芝. 数理统计[M]. 北京: 中国统计出版社, 1985.
[12] 茆诗松, 魏振军. 随机世界探秘——概率统计初步[M]. 上海: 上海教育出版社, 2000.
[13] P. J. Bickel & K. A. Doksum. Mathematical Statistics [M]. Vol. 1. Second Edition. New Jersey: Prentice Hall, 2001.
[14] M. H. Kutner, C. J. Nachtsheim, J. Neter & W. Li. Applied Linear Statistical Models [M]. Fifth Edition. New York: McGraw-Hill/Irwin, 2005.
### 附录
### 线性回归方程检验
线性回归方程的检验是个比较大的话题, 有不同的角度和不同的方法. 这里只介绍决断系数检验,并且证明决断系数检验与相关系数检验是等价的.
决断系数 (coefficient of determination, 亦译作“判别系数”“可决系数”“拟合优度” 等)的大小决定了最小二乘法回归拟合的优劣状况. 决断系数越接近 1 ,表示回归方程对原数据的拟合度越高, 该方程的参考价值越高; 相反, 它越接近 0 , 表示回归方程对原数据的拟合度越低, 该方程的参考价值越低.
沿用 8.2 节的一些记号: 对一组成对数据 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{、}\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \text{、}\cdots \text{、}\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right)$ ,数对 $\left( {\bar{x},\bar{y}}\right)$ 是样本点的中心,线性方程 $y = {ax} + b$ 是这组数据的线性回归方程,而 ${\widehat{y}}_{i} = \; a{x}_{i} + \widehat{b}$ ,如图 8-R2 所示.
图 8-R2
定义这个线性回归的决断系数为
$$
{r}^{2} = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\widehat{y}}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}}{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}},
$$
我们先认为 ${r}^{2}$ 是一个新的统计量,暂时不与 8.1 节的相关系数 $r$ 建立联系.
这个式子中的分母 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}$ 称为总平方和,它是观察数据 $\left( {{x}_{i},{y}_{i}}\right)$ 与数据中心线 $y = \bar{y}$ 距离的平方和,常记为 ${SST}$ ; 分子 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\widehat{y}}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}$ 称为回归平方和,它是回归数据 $\left( {{x}_{i},{\widehat{y}}_{i}}\right)$ 与数据中心线 $y = \bar{y}$ 距离的平方和,常记为 ${SSR}$ (参看图 8-R2).
总平方和 ${SST}$ 、回归平方和 ${SSR}$ 和教材第 126 页所定义的拟合误差 $Q$ 有密切的关系. 拟合误差 $Q$ 也常称为误差平方和,记为 ${SSE}$ ,即 ${SSE} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\widehat{y}}_{i} - {y}_{i}\right) }^{2}$ . 对每一个固定的 ${x}_{i}$ ,我们有 ${y}_{i} - \bar{y} = \left( {{ŷ}_{i} - \bar{y}}\right) + \left( {{y}_{i} - {y}_{i}}\right)$ ,这个和式关系在平方和层面依然成立, 即我们有
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\widehat{y}}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\widehat{y}}_{i} - {y}_{i}\right) }^{2},
$$
①
或写作
$$
{SST} = {SSR} + {SSE}\text{.}
$$
证明如下:
因为
$$
{y}_{i} - \bar{y} = \left( {{y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}}\right) + \left( {{\widehat{y}}_{i} - \bar{y}}\right) ,
$$
所以
$$
{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} = {\left\lbrack \left( {y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}\right) + \left( {\widehat{y}}_{i} - \bar{y}\right) \right\rbrack }^{2}
$$
$$
= {\left( {y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}\right) }^{2} + {\left( {\widehat{y}}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} + 2\left( {{y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}}\right) \left( {{\widehat{y}}_{i} - \bar{y}}\right) .
$$
由 ${y}_{i} = \widehat{a}{x}_{i} + \widehat{b},\bar{y} = \widehat{a}\bar{x} + \widehat{b}$ (从而 $\widehat{b} = \bar{y} - \widehat{a}\bar{x}$ ),于是有
$$
{\widehat{y}}_{i} - \bar{y} = \widehat{a}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) ,{y}_{i} - {\widehat{y}}_{i} = \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) - \widehat{a}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) ,
$$
由此得到
$$
\left( {{y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}}\right) \left( {{\widehat{y}}_{i} - \bar{y}}\right) = \widehat{a}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) - {\widehat{a}}^{2}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}.
$$
把最后这个式子两端对 $i$ 求和,并把从回归系数公式得到的等式
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) = \widehat{a}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}
$$
代入, 得到
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{y}_{i} - {\widehat{y}}_{i}}\right) \left( {{\widehat{y}}_{i} - \bar{y}}\right) = \widehat{a}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) - {\widehat{a}}^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2} = 0.
$$
于是①式成立, 即
$$
{SST} = {SSR} + {SSE}\text{.}
$$
于是决断系数
$$
{r}^{2} = \frac{SSR}{SST} = \frac{{SST} - {SSE}}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}.
$$
决断系数的分母 ${SST}$ 是总平方和,来源于观察得到的真实数据. 从 ${SST}$ 的分解 ${SST} = {SSR} + {SSE}$ 可以看出决断系数 ${r}^{2}$ 的值在 0 与 1 之间,它所分解的第一项回归平方和 SSR 来源于回归方程所估计的预测数据, SSR 在总平方和中的比例越高, 表明回归方程的预测估计数据对真实数据的解释能力越强.
最后把决断系数与 8.1 节所定义的相关系数
$$
r = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) }{\sqrt{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}}}
$$
联系起来. 我们暂且把相关系数 $r$ 的平方记为 ${\left( r\right) }^{2}$ . 由 ${\widehat{y}}_{i} = \widehat{a}{x}_{i} + \widehat{b}$ 与 $\bar{y} = \widehat{a}\bar{x} + \widehat{b}$ ,可以推出
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} = {\widehat{a}}^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2},
$$
把回归系数 $\widehat{a} = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) }{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}}$ 代入,得到
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\widehat{y}}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} = {\left\lbrack \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}_{i} - \bar{x}}\right) \left( {{y}_{i} - \bar{y}}\right) }{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}}\right\rbrack }^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}
$$
$$
= \frac{{\left\lbrack \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) \left( {y}_{i} - \bar{y}\right) \right\rbrack }^{2}}{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}} \cdot \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} = {\left( r\right) }^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2},
$$
于是,
$$
{\left( r\right) }^{2} = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\widehat{y}}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}}{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}} = {r}^{2},
$$
即决断系数就是相关系数的平方. 因此, 用决断系数与用相关系数判定一个回归模型对原始数据拟合的优劣状况是等价的. 但两个系数各有特点, 相关系数只用到原始数据和它们的均值, 更适合在作回归分析之前进行 “预判”. 教材提及的一组 “有线性相关关系的成对数据”, 就可以理解为相关系数的绝对值较大的一组数据, 只有对这样的数据作最小二乘估计, 才有获得比较好的回归模型的可能. 决断系数用到了原始数据、作线性回归后的理想数据以及它们的均值, 只能在得到回归模型后使用, 但它的公式相对简单, 用于事后判定回归模型的优劣比较方便.
### 后记
本套教学参考资料与李大潜、王建磐主编,上海教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》配套使用,本套教材根据中华人民共和国教育部制定并颁布实施的《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)》编制,并经国家教材委员会专家委员会审核通过.
本套教材是由设在复旦大学和华东师范大学的两个上海市数学教育教学研究基地 (上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地)联合主持编写的. 编写工作依据高中数学课程标准的具体要求,努力符合教育规律和高中学生的认知规律,结合上海城市发展定位和课程改革基础,并力求充分体现特色. 希望我们的这一努力能经得起实践和时间的检验,对扎实推进数学的基础教育发挥积极的作用.
本书是与选择性必修第二册教材配套的教学参考资料, 共为四章, 各章编写人员分别为
程靖(第 5 章)
肖恩利、姚一隽(第 6 章)
应坚刚、田万国(第 7 章)
任升录、陈月兰、汪家录(第 8 章)
限于编写者的水平, 也由于新编教材尚缺乏教学实践的检验, 不妥及疏漏之处在所难免, 恳请广大师生及读者不吝赐教. 宝贵意见请通过邮箱 gaozhongshuxue@seph.com.cn 反馈, 不胜感激.
2022 年 7 月
### 图书在版编目 (CIP) 数据
普通高中数学教学参考资料:选择性必修. 第二册/ 上海市中小学(幼儿园)课程改革委员会组织编写. 一上海:上海教育出版社,2022.7
ISBN 978-7-5720-1458-1
I. ①普... II. ①上... III. ①中学数学课 - 高中 - 教学参考资料 IV. ①G634.603
中国版本图书馆CIP数据核字(2022)第103131号